Title: mathsTSI1 / Fonctions / fonctions circulaires et réciproques
Tags: fonctions trigonométrie Dérivées

Q: Ensemble de dérivabilité et dérivée de : [$$]x\mapsto \arctan(x)[/$$]
A: [$$]\mathbb{R}\text{ et }x\mapsto\frac{1}{1+x^2}[/$$]

Q: Ensemble de dérivabilité et dérivée de : [$$]x\mapsto \arcsin(x)[/$$]
A: [$$]]-1;1[\text{ et }x\mapsto\frac1{\sqrt{1-x^2}}[/$$]

Q: Ensemble de dérivabilité et dérivée de : [$$]x\mapsto \arccos(x)[/$$]
A: [$$]]-1;1[\text{ et }x\mapsto-\frac1{\sqrt{1-x^2}}[/$$]

Q: [latex]$\tan(\arctan(x))$, $\arctan(\tan(x))$ : pour quels $x$ ? quel résultat ?[/latex]
A: [latex]$\forall x\in\mathbb{R}, \tan(\arctan(x))=x$\\ $\forall x\in]-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2[, \arctan(\tan(x))=x$ [/latex]

Q: Définition de arcsinus.
A: [latex]C'est la r\'eciproque de la fonction $\sin\vert_{\left[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2\right]}$. \\[0.2cm]
Autrement dit,\quad $\arcsin : \begin{array}[t]{ccl}
[-1;1]&\rightarrow&\left[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2\right]\\[0.2cm]
x&\mapsto&y\text{ tel que }\sin(y)=x
\end{array}$
[/latex]

Q: Définition de arccosinus.
A: [latex]C'est la r\'eciproque de la fonction $\cos\vert_{\left[0,\pi\right]}$.\\[0.2cm]
Autrement dit,\quad $\arccos : \begin{array}[t]{ccl}
[-1;1]&\rightarrow&\left[0,\pi\right]\\[0.2cm]
x&\mapsto&y\text{ tel que }\cos(y)=x
\end{array}$[/latex]

Q: Définition de arctangente.
A: [latex]C'est la r\'eciproque de la fonction $\tan\vert_{\left]-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2\right[}$.\\[0.2cm]
Autrement dit,\quad $\arctan : \begin{array}[t]{ccl}
\mathbb{R}&\rightarrow&\left]-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2\right[\\[0.2cm]
x&\mapsto&y\text{ tel que }\tan(y)=x
\end{array}$[/latex]

Q: [$$]\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}2\right)=...[/$$]
A: [$$]\frac{\pi}3\text{\;car\;}\frac{\pi}3\in[-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2]\text{\,et\,}\sin\left(\frac{\pi}3\right)=\frac{\sqrt{3}}2[/$$]

Q: [$$]\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}2\right)=...[/$$]
A: [$$]\frac{\pi}6\text{\;car\;}\frac{\pi}6\in[0, \pi]\text{\,et\,}\cos\left(\frac{\pi}6\right)=\frac{\sqrt{3}}2[/$$]

Q: [$$]\arctan\left(-\sqrt{3} \right)=...[/$$]
A: [$$]-\frac{\pi}3\text{\;car\;}-\frac{\pi}3\in]-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2[\text{\,et\,}\tan\left(-\frac{\pi}3\right)=-\sqrt{3}[/$$]