Title: mathsTSI1 / Fonctions / équations différentielles
Tags: equations_différentielles fonctions

Q: Étapes principales.
A: 1. mettre sous forme usuelle
2. résoudre l'équation homogène
3. chercher une solution particulière
4. présenter la solution générale
5. tenir compte des conditions initiales si il y en a pour trouver l'unique solution

Q: [latex]Solutions de l'\'equation diff\'erentielle $y'+ay=0$.[/latex]
A: [latex]les fonctions de la forme $y(x)=\lambda e^{-ax}$ avec $\lambda$ une constante r\'eelle ou complexe[/latex]

Q: [latex]Les formes possibles de solutions particulières pour $y'+ay=Ce^{\omega x}$ [/latex]
A: [latex]\begin{itemize}
\item si $\omega\neq-a$, $y_p(x)=me^{\omega x}$ ;
\item si $\omega=-a$, $y_p(x)=mxe^{\omega x}$.
\end{itemize}
$m$ est à déterminer[/latex]

Q: [latex]Solutions complexes de $(\mathcal{H})$ : $y''+ay'+by=0$.[/latex]
A: [latex] $\Delta$ est le discriminant de $x^2+ax+b$.\begin{itemize}
\item \underline{Si $\Delta\neq0$}, on note $r_1$ et $r_2$ les racines.\\
Solutions de $(\mathcal{H})$ : $y(x)=\lambda e^{r_1x}+\mu e^{r_2 x}\text{\qquad avec\quad}(\lambda,\mu)\in\mathbb{C}^2.$
\item \underline{Si $\Delta=0$}, on note  $r_0$ la racine.\\
Solutions de $(\mathcal{H})$ : $y(x)=\lambda e^{r_0x}+\mu. x.e^{r_0x}\text{\qquad avec\quad}(\lambda,\mu)\in\mathbb{C}^2.$
\end{itemize}
[/latex]

Q: [latex]Solutions réelles de $(\mathcal{H})$ : $y''+ay'+by=0$.[/latex]
A: [latex] $\Delta$ est le discriminant de $x^2+ax+b$.\begin{itemize}
\item \underline{Si $\Delta>0$}, on note $r_1$ et $r_2$ les racines.\\
Solutions de $(\mathcal{H})$ : $y(x)=\lambda e^{r_1x}+\mu e^{r_2 x}\text{\qquad avec\quad}(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2.$
\item \underline{Si $\Delta=0$}, on note  $r_0$ la racine.\\
Solutions de $(\mathcal{H})$ : $y(x)=\lambda e^{r_0x}+\mu. x.e^{r_0x}\text{\qquad avec\quad}(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2.$
\item \underline{Si $\Delta<0$}, les racines peuvent se noter $\alpha+i\beta$ et $\alpha-i\beta$.\\
Solutions de $(\mathcal{H})$ : $y(x)=e^{\alpha x}(\lambda\cos(\beta x)+\mu \sin(\beta x))\text{\quad avec\;}(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2.$
\end{itemize}
[/latex]

Q: [latex]Les formes possibles de solutions particulières pour $y''+ay'+by=Ce^{\omega x}$ [/latex]
A: [latex]\begin{itemize}
\item si $\omega$ n'est pas racine de l'éq caractéristique : $y_p(x)=m e^{\omega x}$
\item si $\omega$ est racine simple :  $y_p(x)=m xe^{\omega x}$
\item si $\omega$ est racine double ($\Delta=0$) : $y_p(x)=m x^2 e^{\omega x}$
\end{itemize}
$m$ est à déterminer[/latex]

Q: [latex]Les formes possibles de solutions particulières de $y''+ay'+by=C_1\cos(\omega x)+C_2\sin(\omega x)$[/latex]
A: [latex]\begin{itemize}
\item si $i\omega$ n'est pas solution de l'équation caractéristique, $y_p(x)=m_1\cos(\omega x)+m_2\sin(\omega x)$
\item si $i\omega$ est solution de l'équation caractéristique, $y_p(x)=m_1x\cos(\omega x)+m_2x\sin(\omega x)$
\end{itemize}
$m_1$ et $m_2$ à déterminer[/latex]

Q: [latex]Les formes possibles de solutions particulières de $y'+ay=C_1\cos(\omega x)+C_2\sin(\omega x)$[/latex]
A: [latex]$y_p(x)=m_1\cos(\omega x)+m_2\sin(\omega x)$\\
$m_1$ et $m_2$ à déterminer[/latex]

Q: [latex]Solutions de $y'+ay=b$.[/latex]
A: [latex]$x\mapsto \lambda e^{-ax}+\frac{b}a,\;\lambda\in\mathbb{R}\text{ ou }\mathbb{C}$[/latex]