Title: mathsTSI1 / Géométrie / vecteurs
Tags: géométrie

Q: [latex]$\vec{u}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ dans la base $\mathcal{B}=(\vec{\imath},\vec{\jmath})$ signifie : [/latex]
A: [latex]$\vec{u}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}$.[/latex]

Q: [latex]$A(x_A,y_A,z_A)$ et $B(x_B,y_B,z_B)$ sont deux points de l'espace.\\
Coordonnées du milieu de $[AB]$ :[/latex]
A: [latex]$\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}2,\frac{z_A+z_B}2\right)$[/latex]

Q: [latex]$A(x_A,y_A,z_A)$ et $B(x_B,y_B,z_B)$ sont deux points de l'espace.\\
Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ :[/latex]
A: [latex]$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix}$[/latex]

Q: [latex]$A(x_A,y_A,z_A)$ et $B(x_B,y_B,z_B)$ sont deux points de l'espace.\\
Distance $AB$ (ou norme de $\overrightarrow{AB}$) :[/latex]
A: [latex]$\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$[/latex]

Q: [latex] $\vec{u}.\vec{v}=0 \Longleftrightarrow$ ?[/latex]
A: [latex]$\vec{u}$ et $\vec{v}$ orthogonaux[/latex]

Q: [latex]Plan : $det(\vec{u},\vec{v})=0 \Longleftrightarrow $[/latex]
A: [latex]$\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires[/latex]

Q: [latex]Espace : $\vec{u}\wedge \vec{v}=\vec{0} \Longleftrightarrow$ ?[/latex]
A: [latex]$\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires[/latex]

Q: [latex]Espace : $det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=0 \Longleftrightarrow $ ?[/latex]
A: [latex]$\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ coplanaires[/latex]

Q: [latex]Expression de $\vec u.\vec v$ avec $\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $\vec v=\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$.[/latex]
A: [latex]$\vec u.\vec v=xx'+yy'+zz'$[/latex]

Q: [latex]Expression de $\text{det}(\vec u,\vec v)$ avec $\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec v=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$.[/latex]
A: [latex]$\text{det}(\vec u,\vec v)=\left|\begin{array}{cc}x&x'\\y&y'\end{array}\right|=xy'-yx'$[/latex]

Q: [latex]Expression de $\vec u\wedge\vec v$ avec $\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $\vec v=\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$.[/latex]
A: [latex]$\vec u\wedge\vec v=\begin{pmatrix}yz'-zy'\\zx'-xz'\\xy'-yx'\end{pmatrix}$[/latex]

Q: [latex]Expression de $\text{det}(\vec u,\vec v,\vec w)$ avec $\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $\vec v=\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$ et $\vec w=\begin{pmatrix}x''\\y''\\z''\end{pmatrix}$.[/latex]
A: [latex]$\text{det}(\vec u,\vec v,\vec w)=\left|\begin{array}{ccc}x&x'&x''\\y&y'&y''\\z&z'&z''\end{array}\right|=xy'z''+x'y''z+x''yz'-zy'x''-z'y''x-z''yx'$.[/latex]

Q: [latex]Expression de $\vec u.\vec v$ avec $\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec v=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$.[/latex]
A: [latex]$\vec u.\vec v=xx'+yy'$[/latex]

Q: [latex]$I$ est le milieu de $[AB]$, alors pour tout point $M$, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\ ?$[/latex]
A: [latex]$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$[/latex]

Q: Comment déterminer le cosinus de l'angle entre deux vecteurs ?
A: [latex]$\cos(\vec u,\vec v)=\dfrac{\vec u.\vec v}{\Vert \vec u\Vert.\Vert\vec v\Vert}$[/latex]