Title: mathsTSI1 / Fonctions / calculs de limites
Tags: limites calculs limites,

Q: limites issues de taux d'accroissement
A: [latex]$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$ et $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1$ et $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}x=1$[/latex]

Q: 8 limites issues du théorème des croissances comparées.
A: [latex]pour $\alpha>0$ et $\beta>0$:\\
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}}=0\;\; \text{et}\;\,  \lim_{x\to-\infty}xe^{\beta x}=0\;\; \text{et}\;\;
\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^{\alpha}}=0\;\; \text{et}\;\,\lim_{x\to0}x^{\alpha}\ln(x)=0$\\
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{\alpha}}{\ln(x)}=+\infty\;\; \text{et}\;\, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{\beta x}}{x^{\alpha}}=+\infty\;\; \text{et}\;\, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{\beta x}}{\ln(x)}=+\infty\;\;\text{et}\;\;\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{e^{\beta x}}=0$
 [/latex]

Q: Théorème d'encadrement (ou des gendarmes).
A: [latex]$f$, $g$ et $h$ trois fonctions d\'efinies sur un m\^eme intervalle $I$, avec pour tout $x$ de $I$ : $f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)$.\\
On suppose que $\displaystyle\lim_{x\to\cdot}f(x)=\lim_{x\to\cdot}h(x)=\ell$, alors $\displaystyle\lim_{x\to\cdot}g(x)=\ell$.[/latex]

Q: Théorème de comparaison.
A: [latex]$f$ et $g$ sont d\'efinies sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, $f(x)\leqslant g(x)$ :\\
$\star$ si $\displaystyle\lim_{x\to\cdot}f(x)=+\infty$, alors $\displaystyle \lim_{x\to\cdot}g(x)=+\infty$\\
$\star$ si $\displaystyle\lim_{x\to\cdot}g(x)=-\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x\to\cdot}f(x)=-\infty$ \\
$\star$ si $\displaystyle\lim_{x\to\cdot}f(x)=\ell$ et $\displaystyle\lim_{x\to\cdot}g(x)=\ell'$, alors $\displaystyle\ell\leqslant \ell'$.[/latex]