Title: Par défaut
Tags: Calculs dérivées fonctions

Q: Ensemble de dérivabilité et dérivée de :
[$$]x\mapsto \ln(x)[/$$]
A: [$$]]0,+\infty[\text{ et } x\mapsto \frac{1}{x}[/$$]

Q: Ensemble de dérivabilité et dérivée de :
[$$]x\mapsto e^x[/$$]
A: [$$]\mathbb{R}\text{ et } x\mapsto e^x[/$$]

Q: Ensemble de dérivabilité et dérivée de :
[$$]x\mapsto x^n \text{(avec }n\in\mathbb{N})[/$$]
A: [$$]\mathbb{R} \text{ et } x\mapsto nx^{n-1}[/$$]

Q: Ensemble de dérivabilité et dérivée de :
[$$]x\mapsto \frac{1}{x^n} \text{ (avec }n\in\mathbb{N})[/$$]
A: [$$]\mathbb{R}^* \text{ et } x\mapsto -\frac{n}{x^{n+1} }[/$$]

Q: Ensemble de dérivabilité et dérivée de :
[$$]x\mapsto \sqrt{x}[/$$]
A: [$$]]0,+\infty[\text{ et } x\mapsto \frac{1}{2\sqrt x}[/$$]

Q: Ensemble de dérivabilité et dérivée de :
[$$]x\mapsto \cos(x)[/$$]
A: [$$]\mathbb{R}\text{ et } x\mapsto -\sin(x)[/$$]

Q: Ensemble de dérivabilité et dérivée de :
[$$]x\mapsto \sin(x)[/$$]
A: [$$]\mathbb{R} \text{ et } x\mapsto \cos(x)[/$$]

Q: [latex]On suppose $u$ dérivable sur $\mathcal{D}_u$ et $v$ dérivable sur $\mathcal{D}_v$.\\
Ensemble de dérivabilité et dérivée de  $\dfrac{u}v$.[/latex]
A: [latex]$\mathcal{D}_u\cap\{x\in \mathcal{D}_v\,\vert\, v(x)\neq0\}$ et $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$[/latex]

Q: [latex]On suppose $u$ dérivable sur $\mathcal{D}_u$ et $v$ dérivable sur $\mathcal{D}_v$.\\
Ensemble de dérivabilité et dérivée de $uv$.[/latex]
A: [latex]$\mathcal{D}_u\cap\mathcal{D}_v$ et $(uv)'=u'v+uv'$[/latex]

Q: [latex]On suppose $u$ dérivable sur $I$.\\
Ensemble de dérivabilité et dérivée de $x\mapsto e^{u(x)}$.[/latex]
A: [latex]$I$ et $x\mapsto u'(x)e^{u(x)}$[/latex]

Q: [latex]On suppose $u$ dérivable sur $I$.\\
Ensemble de dérivabilité et dérivée de $u^n$[/latex]
A: [latex]$I$ et $nu'u^{n-1}$[/latex]

Q: [latex]On suppose $u$ dérivable sur $I$.\\
Ensemble de dérivabilité et dérivée de $x\mapsto\frac{1}{u^n(x)}$[/latex]
A: [latex]$\{x\in I\,\vert\, u(x)\neq0\}$ et $x\mapsto\frac{-nu'(x)}{u^{n+1}(x)}$[/latex]

Q: [latex]On suppose $u$ dérivable sur $I$.\\
Ensemble de dérivabilité et dérivée de $x\mapsto\sqrt{u(x)}$[/latex]
A: [$$]\{x\in I\,\vert\,u(x)>0\}\text{ et }x\mapsto\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}[/$$]

Q: Ensemble de dérivabilité et dérivée de :
[$$]x\mapsto \ln(\vert x\vert)[/$$]
A: [$$]\mathbb{R}^*\text{ et }x\mapsto\frac1{x}[/$$]

Q: [latex]On suppose $u$ dérivable sur $I$.\\
Ensemble de dérivabilité et dérivée de $x\mapsto\cos(u(x))$[/latex]
A: [latex]$I$ et $x\mapsto-u'(x)\sin(u(x))$[/latex]

Q: Ensemble de dérivabilité et dérivée de :
[$$]x\mapsto \frac{1}{x}[/$$]
A: [$$]\mathbb{R}^* \text{ et } x\mapsto -\frac{1}{x^{2} }[/$$]

Q: [latex]On suppose $u$ dérivable sur $\mathcal{D}_u$ et $v$ dérivable sur $\mathcal{D}_v$.\\
Ensemble de dérivabilité et dérivée de $u+v$.[/latex]
A: [latex]$\mathcal{D}_u\cap\mathcal{D}_v$ et $(u+v)'=u'+v'$[/latex]